Türevler diferansiyel denklemlerde bulunur. Değişkenlerin değişim oranını temsil ederler. Bağımsız değişken değiştiğinde, bağımlı değişkende üretilen karşılık gelen değişiklik not edilmelidir. Türevler, bir grafikte fonksiyonun eğimini inceleyerek bu değişim oranını ifade eder.
Diferansiyel ve Türev
Bir diferansiyel ve türev arasındaki fark, her birinin gerçekleştirdiği işlev ve her birinin temsil ettiği değerler açısındandır. Diferansiyeller, bir cismin alanı gibi değişken olan niceliklerdeki en küçük farklılıkları temsil eder. Denklemdeki bağımsız ve bağımlı değişkenler arasındaki ilişkinin hesaplanmasını sağlar.
Diferansiyel ve Türev Arasındaki Karşılaştırma Tablosu
| Karşılaştırma Parametreleri | diferansiyeller | türevler |
| Tanım | Diferansiyeller, değişken olan miktarlardaki en küçük farklılıkları temsil eder. | Türevler, bir diferansiyel denklemdeki değişkenlerin değişim oranını temsil eder. |
| Hesaplanan Fark | Lineer fark hesaplanır. | Grafiğin belirli bir noktadaki eğimi hesaplanır. |
| İlişki | Diferansiyel denklemler, kesin çözümlere ulaşmak için türevleri kullanır. Türevler diferansiyel denklemlerde bulunur. | Türevler, bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre değişim oranını basitçe ifade eder. |
| İşlevsel Çağrışımlar | Değişkenler arasındaki işlevsel çağrışımlar bilinmiyor | Değişkenler arasındaki fonksiyonel çağrışımlar bilinmektedir. |
| İle temsil edilen | Diferansiyel denklemler birçok formülle temsil edilir. Yaygın olarak kullanılanlardan biri: dy/dx = f(x) | Farklı temsil formüllerine sahip çeşitli derecelerde türevler vardır. Bir türevin en sık kullanılan formül gösterimi: d /dx |
Diferansiyel nedir?
Kalkülüsün bir alt alanı olarak, diferansiyel denklemler, belirli dalgalanan niceliklerdeki sonsuz küçük farkı temsil eder. Diferansiyel denklemler türevleri ve fonksiyonlarını içerir. Diferansiyeller, bağımsız değişkenin miktarının değiştirilmesinin bir sonucu olarak bağımlı değişkendeki değişimin doğrusal yörüngesini ölçer.
Değişen derecelerde ve matematiksel karmaşıklık derecelerinde birkaç farklı türde diferansiyel denklem vardır. Diferansiyel denklemler, ısı dalgalarının hareketini, nüfus sayılarındaki değişimi, radyoaktif maddenin bozunmasını, elektrik hareketini, bir sarkacın hareketini vb. tanımlamak için kullanılır.
Esasen diferansiyel denklemler, bir değişkenin değişmesinin diğerinde üretilen değişiklik tarafından tetiklendiği iki değişken arasındaki ilişkiyi ifade eder. Fonksiyonların türevlerini hesaplamak için kullanılan metodolojik araçtır. Dolayısıyla temsili bir denklemdir. Diferansiyel denklemler genellikle şu şekilde temsil edilir:
Burada b bağımlı ve a bağımsız değişkendir.
Türev nedir?
En basit ifadeyle, türevler, bağımsız değişkende bir değişiklik kaydedildiğinde ve bağımlı değişkende buna karşılık gelen bir değişiklik üretildiğinde, değişkenlerdeki değişim oranını ifade eder. Bu nedenle, girdi değerindeki bir değişiklik nedeniyle çıktıdaki değişikliği vurgular.
Türevler en yaygın olarak diferansiyel denklemlerde kullanılır. Farklılaşma, türevleri bulmak için kullanılan süreçtir. Teğet bir doğrunun eğimini belirtmek için kullanılırlar. Belirli bir zaman aralığında türevler, bir fonksiyonun eğiminin dikliğini ölçer.
Diferansiyeller gibi türevler de birinci dereceden ve ikinci dereceden türevler olarak sınıflandırılabilir. İlki doğrunun eğiminden doğrudan tahmin edilebilirken, ikincisi grafiğin içbükeyliğini hesaba katar.
Bunlar matematiksel hesaplamaların önemli bir parçasıdır. Genellikle eğim şu şekilde temsil edilir:
d/dx
Örneğin, türetme, b'nin a'ya göre değişim oranı olarak tanımlanır. Bu ilişki b= f(a) olarak ifade edilir, burada b, a'nın bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonun değeri f(a)'nın eğimini oluşturur. Türevler, değişen sistemlerin davranışını kısa ve öz bir şekilde tahmin edebilmek için değişkenlerin değerindeki değişiklikleri ölçmek için genellikle bilimsel araştırmacılar tarafından diferansiyel denklemlerde kullanılır.
Diferansiyeller ve Türevler Arasındaki Temel Farklar
- Diferansiyeller ve türevler arasındaki temel fark, matematiksel alanda işlevselliklerini etkileyen tanımları açısındandır. İlki, bazı dalgalanan niceliklerdeki sonsuz küçük farkı ifade eden hesabın bir alt alanıdır. Öte yandan türevler, giriş değerindeki karşılık gelen bir değişiklik nedeniyle çıkış değerindeki değişikliği ifade eder. Bu değişimin oranını ifade eder.
- Diferansiyel denklemler türevleri veya türevlerin fonksiyonlarını içerir. Oysa türevler, bağımlı değişkenin değerinde karşılık gelen bir değişiklik üreten bağımsız değişkenin değişmesiyle meydana gelen anlık değişimi ifade eder.
- Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki işlevsel çağrışım, türev durumunda bilinir ve diferansiyel durumunda bilinmez. Bu, iki matematiksel kavram arasındaki bir başka önemli farkı temsil eder.
- Bir diferansiyel ve türev denkleminin formülleri de önemli ölçüde farklıdır. dy/dx = f(x) birinciyi temsil eder, burada y bağımlı ve x bağımsız değişkendir. Türevler d/dx ile gösterilir.
- Diferansiyeller, doğrusal bir harita aracılığıyla gerçek değer değişimini temsil ederken, türevler, bir eğim haritası aracılığıyla aynı değişimi temsil eder. Türevler, herhangi bir zamanda grafikteki bir fonksiyonun eğimini hesaplar.
Çözüm
Hem diferansiyeller hem de türevler, karmaşık matematiksel problemlerin uygulanması ve incelenmesinde vazgeçilmez olan temel matematiksel kavramlardır. Her ikisi de sıklıkla birbirleriyle bağlantılı olarak kullanılırlar ve anlamları veya işlevleri belirsiz kalırsa, sıklıkla yanlış yorumlanabilirler.
İki kavram arasındaki farklar minimaldir ancak aynı zamanda bilinmesi önemlidir. İki kavram, denklemlerdeki uygulamaları ve kullanımları açısından farklılık gösterir. Bir diferansiyel denklem, türevleri veya türevlerin fonksiyonlarını içerirken, türevler, bağımsız değişkende karşılık gelen bir değişiklik tarafından tetiklenen bir bağımlı değişkende meydana gelen anlık değişimin ölçüsüdür.
Diferansiyeller, iki değişken arasında var olan ilişkinin temsilidir. Bu ilişkiyi açıkça tanımlamak ve sonsuz küçük değişiklikleri ölçmek için türevleri kullanırlar.
Her birinin temsili önemli ölçüde farklıdır. Ayrıca, türevler değişimin eğimini haritalarken, diferansiyeller, doğrusal haritalama yoluyla gerçek değer değişimini haritalar. Her kavram aynı zamanda önemli değişken formları da bünyesinde barındırır.
Referanslar
- https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
- https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195
