Vektör cebiri, Fizik ve Matematiğin ayrılmaz bir parçasıdır. Hesaplamaları basitleştirir ve çok çeşitli mekansal kavramların analizine yardımcı olur. Vektör, yönü olduğu kadar büyüklüğü de olan fiziksel bir niceliktir. Karşılığı, yalnızca büyüklüğü olan ancak yönü olmayan skaler bir niceliktir.
Bir vektör, iki temel işlem kullanılarak manipüle edilebilir. Bu işlemler nokta çarpım ve çapraz çarpımdır ve aralarında büyük farklılıklar vardır.
Nokta Ürün ve Çapraz Ürün
Nokta çarpım ile iki vektörün çapraz çarpımı arasındaki fark, nokta çarpım sonucunun skaler bir nicelik, çapraz çarpımın sonucunun ise bir vektör niceliği olmasıdır.
İki vektörün nokta ürününe skaler ürün de denir. İki vektörün büyüklüğü ile aralarında oluşturdukları açının kosinüsünün çarpımıdır.
İki vektörün çapraz ürününe vektör ürünü de denir. İki vektörün büyüklüğünün ve birbirleriyle oluşturdukları açının sinüsünün ürünüdür.
Nokta Ürün ve Çapraz Ürün Karşılaştırma Tablosu (Tablo Şeklinde)
| Karşılaştırma Parametresi | Nokta ürün | Çapraz ürün |
|---|---|---|
| Genel Tanım | Nokta çarpım, vektörlerin büyüklüğü ile aralarındaki açının cos'unun çarpımıdır. | Bir çapraz çarpım, vektörlerin büyüklükleri ile birbirleri üzerinde bulundukları açının sinüsünün çarpımıdır. |
| Matematiksel İlişki | A ve B vektörlerinin nokta çarpımı şu şekilde temsil edilir: Α.Β = ΑΒ cos θ | A ve B vektörlerinin çapraz çarpımı şu şekilde temsil edilir: Α × Β = ΑΒ sin θ |
| sonuç | Vektörlerin nokta çarpımının sonucu skaler bir büyüklüktür. | Vektörlerin çapraz ürününün sonucu bir vektör miktarıdır. |
| Vektörlerin Ortogonalliği | Vektörler dik olduğunda nokta ürün sıfırdır (θ = 90°). | Vektörler dik olduğunda (θ = 90°) çapraz çarpım maksimumdur. |
| değişebilirlik | İki vektörün nokta çarpımı değişme yasasını takip eder: A. B = B. A | İki vektörün çapraz çarpımı değişme yasasına uymuyor: A × B ≠ B × A |
Nokta Ürün nedir?
İki vektörün bir nokta çarpımı veya skaler çarpımı, büyüklüklerinin ve bir vektörün diğerine göre gördüğü açının kosinüsünün çarpımıdır. Aynı zamanda iç ürün veya projeksiyon ürünü olarak da adlandırılır.
Şu şekilde temsil edilir:
A·Β = |A| |B| çünkü θ
Sonuç skaler bir niceliktir, yani sadece büyüklüğü vardır, yönü yoktur.
Nokta çarpımı hesaplamak için açının kosinüsünü alırız, böylece vektörler aynı yönde hizalanır. Bu şekilde, bir vektörün diğeri üzerindeki izdüşümünü elde ederiz.
n boyutlu vektörler için nokta çarpımı şu şekilde verilir:
A·Β = Σ α¡b¡
Nokta çarpım aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Α· b = b·α
Α· (b+c) = α·b + α·c
(λα) · (μb) = λμ (α· b)
Nokta çarpım aşağıdaki uygulamalara sahiptir:
Koordinatları bilindiğinde düzlemdeki bir noktanın izdüşümünü bulmak için kullanılır.
Çapraz Ürün Nedir?
İki vektörün bir çapraz ürünü veya vektör ürünü, büyüklüklerinin ve birinin diğerine göre gördüğü açının sinüsünün ürünüdür. Ayrıca yönlendirilmiş alan ürünü olarak da adlandırılır.
Şu şekilde temsil edilir:
A×Β = |A| |B| günah θ
Sonuç, başka bir vektör miktarıdır. Elde edilen vektör her iki vektöre de diktir. Yönü, sağ el kuralı kullanılarak belirlenebilir.
Çapraz çarpım hesaplanırken aşağıdaki kurallar akılda tutulmalıdır:
Burada I, j ve k sırasıyla x, y ve z yönündeki birim vektörlerdir.
Çapraz ürün aşağıdaki özelliklere sahiptir:
a× b = – (b × α)
a × (b+c) = α × b + α × c
(λα) × (b) = λ (α × b)
Çapraz ürün aşağıdaki uygulamalara sahiptir:
Nokta Ürün ve Çapraz Ürün Arasındaki Temel Farklar
Nokta çarpım ve çapraz çarpım, vektör cebirinde hesaplamalara izin verir. Farklı uygulamaları ve farklı matematiksel ilişkileri vardır.
İkisi arasındaki temel farklar şunlardır:
Çözüm
Vektör cebiri, çeşitli matematiksel konularda büyük bir faydaya sahiptir. Geometri ve elektromanyetikte kullanımı çok yaygındır. Vektörlerin nokta çarpımı ve çapraz çarpımı, vektör cebirindeki temel işlemlerdir. Birkaç uygulamaları var. Nokta çarpımı skaler bir miktar hesaplar. Bu miktar genellikle mesafe veya uzunluktur.
Çapraz ürün bir vektör miktarını hesaplar. Böylece uzayda başka bir vektör elde ederiz. Vektörler üzerinde toplama, çıkarma, çarpma gibi işlemleri yapabiliriz. Yer değiştirme, hız ve ivme Fizikte yaygın vektörlerdir.
Vektör kavramı 200 yıl önce gelişti. O zamandan beri birçok matematikçi ve bilim insanının katkıları sayesinde gelişti.
