Mikropartiküllerin davranışı incelenirken makropartiküllere uygulanan matematiksel formüller ve kurallar uygulanamayabilir. Bu tür problemlerin çözümü için farklı matematiksel yaklaşımlar tasarlanmıştır ve mikro ölçekli parçacıkların bu tür matematiksel problemlerini analiz ederken ve çözerken hem Eulerian hem de Lagrange yaklaşımları kullanılmaktadır.
Eulerian vs Lagrange
Eulerian ve Lagrange arasındaki temel fark, Eulerian yönteminde, uzay ve zaman fonksiyonları açısından bir kontrol hacminin akış özelliklerine daha fazla dikkat gösterilmesidir. Lagrange yönteminde akış hacminin çok sayıda parçacıktan oluştuğu varsayılır ve tek tek parçacıklara daha fazla odaklanılır.
Eulerian matematiksel yaklaşımı, sıvı akışını veya bir parçacık hacminin akışını içeren matematiksel problemleri çözmek için kullanılır. Akış, hem uzayın hem de zamanın bir fonksiyonu olarak ele alınır ve akışın sıcaklık gibi farklı özellikleri kaydedilir ve incelenir. Bu yaklaşımda, gerçek akışa daha fazla odaklanılır.
Lagrange yaklaşımı, sıvı akışının çok sayıda parçacıktan oluştuğunu düşünür. Bu yaklaşımda, sıvı akışı, hareketin yönü ve parçacıkların hızı gibi akış özellikleri tanımlanarak, tek tek parçacıklar incelenerek incelenir. Böylece parçacıklar akış hacmi boyunca hareket ederken izlenir.
Eulerian ve Lagrange Arasındaki Karşılaştırma Tablosu
| Karşılaştırma Parametreleri | Eulerian | Lagrange |
| Tanım | Parçacıkların akışını incelemek için matematiksel yaklaşım ve Leonhard Euler tarafından önerildi. | Parçacıkların akışını incelemek için kullanılan ve Louis Lagrange tarafından önerilen matematiksel yaklaşım |
| konsantrasyon | Sabit bir noktada akış özelliklerine odaklanılır | Özellikleri tanımlanarak tek bir parçacığa odaklanılır. |
| Yaklaşmak | Gözlem noktası sabittir ve yalnızca sıvı akışındaki değişiklikler not edilir | Mülk değerleri farklı yerlerde değiştikçe gözlem noktası değişir |
| Yöntem | Akış, farklı özelliklerle uzay ve zamanın fonksiyonunda tanımlanır. | Akış, karakteristik özelliklere sahip bireysel parçacıklar cinsinden tanımlanır. |
| kullanım | Eulerian yaklaşımı çok yaygın olarak kullanılır | Lagrange yaklaşımı yaygın olarak kullanılmamaktadır. |
Eulerian nedir?
Leonhard Euler tarafından önerilen, hacimde asılı kalan parçacıkların akışını incelemek için kullanılan matematiksel yaklaşım, Euler yaklaşımı olarak bilinir.
Bu yaklaşım, tek tek parçacıklardan çok hacmin gerçek akışına odaklanır. Bu, akışı uzay ve zamanın işlevi açısından tanımlayarak ve ayrıca akışla ilgili sıcaklık gibi parametreleri belirleyerek elde edilir.
Böylece yaklaşımın konsantrasyonu parçacıkların akışıdır. Akışın gözlemi, akış hacminde bir gözlem noktası seçilerek ve nokta sabitlenerek yapılır.
Akışın parametreleri, sabit gözlem noktası aracılığıyla kaydedilir ve bu parametrik değerlerdeki değişiklik not edilir.
Yapılan gözlemler, akışın özelliklerini belirlemek için tüm akış hacmi boyunca tahmin edilir. Dolayısıyla bu yaklaşım çoğunlukla gaz halindeki akış parçacıklarının veya sabit akış ortamlarında asılı duran mikro parçacıkların akış özelliklerini belirlemek için kullanılır.
Bu yöntem, mikropartiküllerin kararsız dağılımının incelenmesi için diğer matematiksel formülasyonlardan daha yaygın olarak kullanılır. Akış düzenleri sürekli değiştiğinden, bu yöntemi kullanarak matematiksel bir model oluşturmak için yüzlerce yineleme gerekir.
Lagrange nedir?
Lagrange yaklaşımı, bir hacmin akış karakteristiğini incelemek için kullanılan matematiksel bir formülasyondur. Formülasyon Louis Lagrange tarafından yapılmıştır.
Lagrange yöntemi, akış hacminin çok sayıda parçacıktan oluştuğunu kabul eder. Böylece sıvı akışının özellikleri, tek tek parçacıkların akış parametrelerinin anlaşılmasıyla hesaplanır.
Yaklaşım, akış hacminde tek bir partikül seçilerek ve partikül üzerine sabitlenerek gerçekleştirilir. Hareket yönü ve hız gibi akışın özellikleri parçacığa atanır.
Parçacığın hareketi kaydedilir ve parametrik niceliklerdeki değişiklikler not edilir. Akışın parametreleri farklı konumlarda değiştiğinden, parçacığın gözlemleri akış hacmi boyunca farklı noktalarda yapılır.
Böylece akış hacmindeki farklı noktalarda farklı gözlemler kaydedilir ve parçacığın akışındaki karakteristik değişim hesaplanır. Bu değişiklikler, sıvı akışının doğasını belirlemek için tüm akış hacmi boyunca tahmin edilir.
Bu yöntem, gözlem için gerekli olan kurulum zorluğundan dolayı Euler yöntemi kadar yaygın olarak kullanılmamaktadır. Bu yöntem aynı zamanda hatalara daha yatkındır, çünkü bu tür küçük gözlemlerin fiziksel olarak yapılması zordur.
Eulerian ve Lagrange Arasındaki Temel Farklılıklar
Çözüm
Mikro boyutlu parçacıklar içeren problemlerin çözümü için gerekli matematiksel formülasyonlar, normal matematiksel yöntemlerden farklıdır.
Hem Eulerian hem de Lagrange matematiksel yöntemleri, bu tür koşulların çözümlerini analiz eder ve bulur. Gazlı akış sistemleri gibi küçük parçacıklardan oluşan sıvı akışı problemlerini çözmek için kullanılırlar.
Eulerian matematiksel modeli, hatalara açık olmadığı ve kontrollü bir ortamda gerçekleştirilmesi kolay olduğu için Lagrange modelinden daha yaygın olarak kullanılır.
Lagrange yöntemi daha karmaşıktır ve gözlem yapmak ve yapılan gözlemlerin hesaplamalarını yapmak için çok fazla hassasiyet gerektirir. Bu nedenle yöntem hatalara daha yatkındır.
Referanslar
www.sciencedirect.com/science/article/pii/004578259290042I
www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021999174900515
