Konik kesit, bir düzlem koniyi belirli bir açıyla kestiğinde elde edilen bir eğridir. Üç tür konik bölüm vardır - elips, parabol ve hiperbol.
Bir elips, iki odak noktası olan ve bir şekilde bir daireye benzeyen düzlemsel bir eğridir. Ancak, parabol ve hiperbol kafa karıştırıcı bölümlerdir.
Parabol ve Hiperbol
Bir parabol ve bir hiperbol arasındaki fark, parabolün eksantrikliği bir olan tek bir açık eğri olmasına karşın, bir hiperbolün eksantrikliği birden büyük olan iki eğriye sahip olmasıdır.
Bir parabol, sonsuza kadar uzanan tek bir açık eğridir. U şeklindedir ve bir odak ve bir directrix'e sahiptir.
Bir hiperbol, birbirine bağlı olmayan iki dalı olan açık bir eğridir. Her dal için bir tane olmak üzere iki odağı ve iki yönlendirmesi vardır.
Parabol ve Hiperbol Arasındaki Karşılaştırma Tablosu (Tablo Şeklinde)
| Karşılaştırma Parametresi | Parabol | Hiperbol |
|---|---|---|
| Tanım | Bir parabol, bir odak ve bir doğrultmadan eşit uzaklıkta olan noktaların bir yeridir. | Bir hiperbol, iki odaktan sabit bir farkı olan noktaların bir yeridir. |
| Şekil | Parabol, bir odağı ve bir yönü olan açık bir eğridir. | Hiperbol, iki odak ve iki doğrultuya sahip iki dallı açık bir eğridir. |
| eksantriklik | Bir parabolün negatif olmayan eksantrikliği birdir. | Bir hiperbolün negatif olmayan eksantrikliği e birden büyüktür. |
| Uçağın Kavşağı | Düzlemin kesişimi, koninin eğik yüksekliğine paraleldir (ideal durum). | Düzlemin kesişimi, çift koninin dikey yüksekliğine paraleldir (ideal durum). |
| Genel Denklem | Parabolün genel denklemi y = ax², a ≠ 0 | Hiperbolün genel denklemi x²/a² – y²/b² = 1'dir. |
Parabol nedir?
Parabol, bir noktadan ve bir doğrudan eşit uzaklıkta olan tüm noktaların geometrik yeridir. Bu noktaya odak ve bu çizgiye de directrix denir.
Bir düzlem bir koni ile eğim yüksekliğine paralel (ideal durum) bir yönde kesiştiğinde bir parabol oluşur.
Bir parabolün genel denklemi şu şekilde verilir:
y = ax², a ≠ 0
a değeri eğrinin şeklini belirler.
a > 0 ise parabolün ağzı yukarıya doğru açılır.
a < 0 ise parabolün ağzı dibe açılır.
Yukarıdaki parabolün odak noktası (0, 1/4a)'dır. Directrix (-1/4a) şeklindedir.
Ancak, a=1 olduğunda, parabole birim parabol denir.
Bir parabolün eksantrikliği birdir.
Bir parabol, ekseni etrafında simetriktir. Sonsuz bir mesafede, eğriler paralel çizgiler olarak görünür.
Hiperbol nedir?
Bir hiperbol, iki farklı noktadan sabit farkı olan tüm noktaların geometrik yeridir. Bu noktalara hiperbolün odakları denir.
Katı bir düzlem bir koniyi dik yüksekliğine paralel bir yönde kestiğinde bir hiperbol oluşur.
Bir hiperbolün genel denklemi şu şekilde verilir:
(x-α) ²/a² – (y-β)²/b² = 1
Yukarıdaki hiperbolün odakları (α ± sqrt(a²+b²), β).
Köşeler (±a, β) şeklindedir.
Bir hiperbolün eksantrikliği birden fazladır.
Bir hiperbolün iki simetri ekseni vardır. Bunlar enine eksen ve eşlenik eksendir.
Parabol ve Hiperbol Arasındaki Temel Farklar
Parabol ve hiperbol konik kesitlerdir. Farklı şekil ve özelliklere sahiptirler.
İkisi arasındaki temel farklar şunlardır:
Çözüm
Konik bölümler elips, parabol ve hiperbolden oluşur. Bir koninin bir düzlemle kesişiminden elde edildikleri için konik kesitler olarak adlandırılırlar. Paraboller tek bir sonsuz eğridir. Odak ve doğrultmadan eşit uzaklıktaki noktaların odağıdırlar.
Hiperboller iki dalı olan eğrilerdir. İki odaktan sabit bir uzaklık farkı olan noktaların geometrik yeridir. Fark onların eksantrikliklerinde yatmaktadır. Parabollerin eksantrikliği bir, hiperbollerin eksantrikliği birden fazladır.
Parabollerin gerçek hayatta çeşitli uygulamaları vardır. Mimarlık, mühendislik, uzay aracı tasarımı, reflektörler ve holografik filmlerde kullanılırlar. Hiperboller radyo mühendisliği, uydu tasarımı, lensler, bilgisayarlar ve güneş saatlerinde popülerdir. Aslında evrenimiz bir hiperbol şeklindedir.
